Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

решение гипергеометрического уравнения

Г. ф. может быть определена с помощью так наз. р я-да Гаусса:

где - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме - комплексное переменное, . Функция наз. гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение пшергеометрич. уравнения (1)

наз. гипергеометр к ческой функцией 2-го рода.

Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно при ; сходимость распространяется и на единичную окружность, если при сходится во всех точках единичной окружности, кроме . Однако существует аналптич. продолжение Г. ф. (2) во внешность единичной окружности с разрезом (см. [1]). Функция - однозначная аналитическая в комплексной плоскости с разрезом . Если или - нуль или целое отрицательное число, то ряд (2) обрывается на конечном числе членов и Г. ф. представляет собой полином относительно z.

При Г. ф. не определена, однако

Элементарные соотношения. Шесть функций

наз. смежными с Г. ф. . Между функцией и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,

15 формул такого типа впервые были найдены К. Гауссом (С. Gauss, см. [2], [31). Ассоциированные функции , где т, п, l- целые числа, могут быть получены повторными применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы дифференцирования

Уравнение (1) имеет 24 решения вида

где - линейные функции и связаны дробно-линейным преобразованием. Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Существуют квадратичные, кубичные и более высокого порядка преобразования (см. [2] - [5]).

Основные интегральные представления. Если и то имеет место формула Эйлера:

Разлагая в биномиальный ряд и применяя контурные интегралы для бета-функции, можно получить другие интегральные представления (см. [2]). Интеграл (3) и другие аналогичные формулы, определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей плоскости z, также могут служить для аналитич. родолжения функции в область Существуют и другие аналнтич. продолжения (см. [1], [2]).

Асимптотическое поведение Г. ф. при больших значениях |z| полностью описывается с помощью формул, дающих аналитич. родолжение в окрестность точки (см. [1] - [3]). Если - фиксированные числа и достаточно велико, то при

При имеется аналогичное выражение. Для фиксированных и

См. также [2], [5], [6]. Представления функций через Г. ф. Элементарные функции:

полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода:

присоединенные функции Лежандра:

многочлены Чебышева:

многочлены Лежандра:

ультрасферические многочлены:

многочлены Якоби:

Обобщения Г. ф. Обобщенной Г. ф.

наз. решение гипергеометрич. уравнения -го порядка (см. [2]). Имеются и другие обобщения Г. ф., напр., на случай многих переменных (см. [2]).

Лит.: [1] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 1], пер. с англ.,2 изд.,М., 1973; [3] Градштейн И. С Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 5 изд., М 1971; [4] Кummеr Е. Е., "J. reine und angew. Math.", 1835, Bd 15, S. 39-83, 127-72; [5] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [6] Уиттекер Э. Т., Ватcон Дж. Н., Курс современного анализа, ч. 2, Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [7] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [81 Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959. доп. l; [9] An index of mathematical tables, 2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962. Э. А. Чистова.