Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

ЗВЕЗДА ЭЛЕМЕНТА ФУНКЦИИ

звезда Миттаг-Леффлера,- звездообразная область, в к-рую данный элемент

I

аналитич. функции может быть аналитически продолжен по лучам, выходящим из его центра а.3. э. ф. состоит из тех точек комплексной плоскости z, к-рые можно достичь, аналитически продолжая элемент f(z)в виде степенного ряда вдоль всевозможных лучей, исходящих из центра элемента а. Е, сли при продолжении элемента вдоль данного луча z=a+re^ij, нельзя достичь произвольной точки этого луча, то на луче найдется точка такая, что продолжение возможно до любой точки интервала [a, z₁), но далее неосуществимо. Если продолжение возможно в любую точку луча, то полагают Совокупность точек,

принадлежащих всем интервалам [a,z₁) представляет собой (односвязную) звездообразную область относительно точки а- это и есть 3. э. ф. S_f. В результате аналитич. родолжения в S_f получают регулярную аналитпч. функцию f(z), являющуюся однозначной ветвью в S_f полной аналитич. функции, порождаемой данным элементом.

Все точки границы дS_f3. э. ф. являются достижимыми граничными точками. В вопросах аналитического продолжения (см. также Адамара теорема )различают также угловые, доступные и хорошо доступные точки границы dS_f. Точка наз. угловой точкой границы 3. э. ф., если она имеет наименьший модуль |z₁| среди всех точек дS_f с тем же аргументом arg z₁. Точка наз. доступной точкой границы 3. э. ф., если существует полукруг V(z₁ )такой, что f(z)регулярна всюду внутри V(z₁ )и в точках его диаметра, отличных от z₁. Точка наз. хорошо доступной (или хорошо достижимой) точкой границы З. э. ф., если существует угол V(z₁) с вершиной z_t раствора больше p и такой, что f(z) регулярна в области {V(z₁)(|z-z₁| <d)} при достаточно малом d>0.

Г. Миттаг-Леффлер [1] показал, что регулярную функцию f(z) в ее звезде S_f можно представить в виде равномерно сходящегося внутри S_f ряда многочленов

Формула (*) низ. Миттаг-Л еффлера разложением в звезде. Здесь степени многочленов k _п и коэффициенты c₀⁽ⁿ⁾, c₁⁽ⁿ⁾, ..., c_kn⁽ⁿ⁾, n=0, 1, .... не зависят от вида f(z) и могут быть вычислены раз навсегда. Такое вычисление было проделано П. Пенлеве (P. Painleve; см. [2], [3]).

Лит.:[1] Mittag-Leffler G., "Acta math.", 1900, v. 23, p. 43-62; 1901, v. 24, p. 183-204, 205-44; 1902, v. 26, p. 353-93; 1905, v. 29, p. 101 - 82; [2] Mapкушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [3] Воrel E., Lecons sur les fonctions de variables reelles et les developpements en series de polynomes, P., 1928.

E. Д. Соломенцев.