Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

- общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами:

1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона

причем на концах интервала ортогональности выполняются условия

2) Многочлен у=Р _п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению

3) Имеет место обобщенная Родрига формула

где с _п- некоторый нормировочный коэффициент.

4) Производные К. о. м. суть также К. о. м. и ортогональны на том же интервале ортогональности, вообще говоря, с другим весом.

5) Для производящей функции

имеет место представление

где l=l{х, w)- тот корень квадратного уравнения z-х-wB(z)=0, который при малых |w| ближе расположен к точке х.

Этими свойствами обладают только три из указанных систем ортогональных многочленов, а также системы, полученные из этих трех линейными преобразованиями независимого переменного.

В обобщенной формуле Родрига нормировочный коэффициент с _п обычно выбирается тремя различными способами с целью получения ортонормированных многочленов, либо ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом, либо так наз. стандартизованных ортогональных многочленов, к-рые вводятся потому, что наиболее удобны в применениях и основные формулы для них имеют наиболее простой вид.

К. о. м. являются собственными функциями нек-рых задач на собственные значения для уравнений типа Штурма - Лиувилля, причем в этих задачах каждая система ортогональных многочленов (многочлены Якоби, многочлены Эрмита, многочлены Лагерра) является единственной последовательностью решений соответствующей системы уравнений (см. [4], с. 110).

Частные случаи К. о. м. определяются следующим выбором весовой функции и интервала ортогональности:

1) Многочлены Якоби {Р _п (х;a, b} ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)^a(i+x)^b, где a>-1, b>-1. В частности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра {Р _п (х;a)}. Лежандра многочлены {Р _n (х)}соответствуют значениям a=b=0 и ортогональны на сегменте [ - 1,1] с весом j(x)=1. Если т. е. j(x)=[(1-х)(1+х)]^-1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода {Т _п (х)}, а при - многочлены Чебышева второго рода {U_n(x)}.

2) Многочлены Эрмита {Н _n (х)}ортогональны на интервале с весом j(x) = ехр(- х ²)

3) Многочлены Лагерра {L _п (х;a)}ортогональны на интервале с весом j(x) = x^ae^-x, где a>-1.

Лит.:[1] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Л., 1950; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [3] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; [4] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; [5] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., 1976. См. также лит. при ст. Ортогональные многочлены.

П. И. Суетин.