Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к-рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2-й степени

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат на нек-рый угол к одному из 9 приведенных ниже канонич. видов, каждому из к-рых соответствует определенный класс линий. Именно, нераспадающиеся линии:

эллипсы,

гиперболы,

у ²=2рх параболы,

мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

пары мнимых пересекающихся прямых,

пары действительных пересекающихся

прямых,

х ²-a²=0 пары действительных параллельных прямых,

x²+а ²=0 пары мнимых параллельных прямых,

x²=0 пары совпадающих действительных прямых.

Л. в. п., имеющие единственный центр симметрии (центр Л. в. п.), наз. центральной линией. Координаты центра Л. в. п. определяются решением системы:

Л. в. п. без центра симметрии или снеопределенным центром наз. нецентральной линией.

Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к канонич. виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения к-рых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат

и семиинварианта (полуинварианта):

к-рый является инвариантом относительно поворота системы координат (см. табл.).

Многие важные свойства Л. в. п. могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы

соответствующей уравнению (*). В частности, нераспадающаяся Л. в. п. оказывается эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости От того, будет ли Ф ( х, у).положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной или полуопределенной квадратичной формой, что устанавливается по корням ее характеристического уравнения:

Три основных инварианта определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Существует классификация Л. в. п. с точки зрения других групп преобразований. Так, относительно более общей (чем группа движений) группы аффинных преобразований эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонич. вида. Напр., две подобные Л. в. п. считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии, в к-рой бесконечно удаленные элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удаленной прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Существует 5 классов проективной эквивалентности Л. в. п. Именно, невырождающиеся линии (x₁ х ₂, х ₃ - однородные координаты):

действительный овал, мнимый овал; вырождающиеся линии:

пара действительных прямых, пара мнимых прямых, пара совпадающих прямых. Кроме аналитич. способа определения Л. в. п. (заданием уравнения) существуют и другие способы. Напр., эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конич. поверхности плоскостью (см. Конические сечения).

Исследование вида линий второго порядка с помощью инвариантов

Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; [2J Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 11 изд., М., 1972. А. Б. Иванов.