Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

РАНГ

линейного обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной области

(1)

- число r=k+1, где

Коэффициенты уравнения (1) - сходящиеся при больших ряды

Понятие Р. употребляется только тогда, когда - особая точка дифференциального уравнения (1). Р. дифференциального уравнения наз. также р а н г о м о с о б о й т о ч к и . Если эта точка - регулярная особая точка, то r=0; если иррегулярная особая точка, то r>0. Число kназ. п о д р а н г о м. Р. уравнения - целое или дробное число. Если подранг дробный, со знаменателем , то подранг уравнения, полученного из (1) заменой переменной , будет целым. Р. уравнения инвариантен относительно замены переменной вида , где функция голоморфна и отлична от нуля в точке

Понятие Р. уравнения и особой точки используется при исследовании структуры решений уравнения (1) на бесконечности. Пусть Q(z) - многочлен степени р,

- формальный ряд, - целое число. Ряд

(2)

наз. н о р м а л ь н ы м (соответственно п о д н о р м а л ь н ы м) порядка , если s= 1 (соответственно ). Решение уравнения (1), представимое сходящимся в окрестности точки нормальным (поднормальным) рядом, наз. н о р м а л ь н ы м (п о д н о рм а л ь н ы м) решением того же порядка (см. [2], [3]).

Порядок нормального (поднормального) решения не превосходит Р. уравнения; это верно, и для формальных решений вида (2). Если ранг rуравнения (1) целый, то оно имеет по крайней море одно формальное решение вида (2) порядка r. Подстановка не меняет Р. уравнения. Если подранг , где р, q - взаимно простые целые числа и , то уравнение имеет не менее qформальных решений вида (2) порядка r.

У р а в н е н и е м Г а м б у р г е р а наз. уравнение (1) с рациональными коэффициентами, если оно имеет ровно две особые точки: регулярную z=0 и иррегулярную . Для уравнения Гамбургера получены достаточные условия, при к-рых оно имеет нормальные решения, а при п=2 - необходимые и достаточные условия существования нормальных и поднормальных решений (см. [2]).

Понятие Р. вводится и в том случае, когда уравнение (1) имеет конечную особую точку (см. [2], [3]).

В случае линейной системы из n обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области

(3)

где -целое число, матрица-функция A(z) голоморфна в точке и , число r+1 наз. р а н-г о м с и с т е м ы (3), или р а н г о м о с о б о й т о ч к и , число r - ее п о д р а н г о м (см. [4] - [6]). Если , то точка - регулярная особая точка; в отличие от скалярного уравнения (1), точка может быть регулярной особой, если (см. [4]).

Лит.:[1] P o i n c a r e H., "Acta math.", 1886, v. 8; [2] А й н с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [3] Л а т ы ш е в а К. Я., Тер е щ е н к о Н. И., О р е л Г. С., Нормально-регулярные решения и их приложения, К., 1974; [4] К о д д и н г т о н Э., Л е-в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [5] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [6] В а з о в В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1968. М. В. Федорюк.