Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИИ ПРИНЦИП

сжатых отображении принцип,- теорема, утверждающая существование и единственность неподвижной точки у отображения f полного метрич. пространства (X,r) (или замкнутого подмножества такого пространства) в себя, если для любых х', х" выполняется неравенство

(1)

где 0<q<1. Этот принцип широко используется для доказательства существования и единственности решения не только уравнения вида f(x)=x, но и уравнений f(x)=y путем замены такого уравнения на эквивалентное: , где .

Схема применения С. о. п. обычно такова: исходя из свойств отображением f находят сначала замкнутое множество , обычно замкнутый шар, такое, что , а затем доказывают, что на этом множестве f является отображением сжатия. После этого, отправляясь от произвольного элемента , строят последовательность {s_n}, x_n=f(x_n-1), n=1, 2, . . ., принадлежащую М, к-рая сходится к нек-рому элементу . Это и будет единственное решение уравнения f(x)=x, а х _п будут последовательными приближениями решения.

В общем случае условие (1) нельзя заменить условием

(2)

однако если это условие выполняется на компактном множестве K, к-рое f отображает в себя, то условие (2) обеспечивает у f существование единственной неподвижной точки .

Имеет место следующее обобщение С. о. п. Пусть снова f отображает полное метрич. пространство Xв себя и

при , где для . Тогда отображение f имеет на Xединственную неподвижную точку.

Лит.:[1] К о л м о г о р о в А. Н., Ф о м и н С. В., Элементы теории фуннций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] К р а с н о с е л ь с к и й М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [3] Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [4] Т р е н о г и н В. А., Функциональный анализ, М., 1980. В. И. Соболев.