Математическая энциклопедия ХААРА МЕРА - ненулевая положительная мера на -кольце . подмножеств Елокально компактной группы G, порожденном семейством всех компактных подмножеств, принимающая конечные значения на всех компактных подмножествах в Gи удовлетворяющая либо условию левоинвариантности: для всех где либо условию правоинвариантности:
для всех где где - непрерывный гомоморфизм группы G в мультипликативную группу R+ положительных действительных чисел, не зависящий от выбора непрерывной финитной функции f на G. Гомоморфизм наз. модулем группы G; мера является правоинвариантной X. м. на G. Если то группа Gназ. унимодулярной; в этом случае левоинвариантная X. м. является также и правоинвариантной и наз. двусторонне инвариантной. В частности, любая компактная, дискретная и абелева локально компактная группа, а также любая связная полупростая или нильпотентная группа Ли унимодулярна. Унимодулярность группы G равносильна также тому, что любая левоинвариантная Х. м. на G инверсионно инвариантна, т. е. для всех где - линейно независимые левоинвариантные (правоинвариантные) дифференциальные формы 1-го порядка на G (см. Маурера - Картана форма), п=dimG. Модуль группы Ли G определяется формулой где Ad - присоединенное представление. Примеры. 1) X. м. на аддитивной группе и на факторгруппе (группа вращений окружности) совпадает с обычной лебсговской мерой. 2) Полная линейная группа или С, унимодулярна, причем X. м. имеет вид где k=n при и k=2n при a dx - лебеговская мора в евклидовом пространстве всех матриц порядка . над полем Ф. то существует положительная мера v на -кольце . множеств порожденном семейством компактных подмножеств в X, однозначно определяемая условием:
для всех непрерывных финитных функций f на X. Лит.: [1] Нааr A., лAnn. Math.
|