Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

отображение касательного пространства многообразия Мв М, определяемое заданной на М связностью и являющееся далеко идущим обобщением обычной экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение прямой в себя.
1) Пусть М - многообразие класса с аффинной связностью, р - нек-рая точка из М, М _р - касательное пространство к многообразию Мв точке ри X - ненулевой вектор из - геодезическая, проходящая через точку р в направлении вектора X. Существует такая открытая окрестность N₀ точки 0 в М _р и такая открытая окрестность N _р точки рв М, что отображение является диффеоморфизмом N₀ на N _р. Это отображение называется Э. о. в точке р и обозначается Ехр. Окрестность N₀ наз. нормальной, если: 1) отображение Ехр диффеоморфно отображает N₀ на N _р,2) если и то В этом случае N _р - нормальная окрестность точки . в многообразии М. Каждая точка обладает выпуклой нормальной окрестностью N _р точки р: любые две точки такой окрестности можно соединить в точности одним геодезич. отрезком, содержащимся в N _р. Если М - полное риманово многообразие, то Ехр есть сюръективное отображение М _р на М.
2)Пусть G- группа Ли с единицей еи g - соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векторов к G в точке е. Для каждого вектора существует единственный аналитич. омоморфизм группы в Gтакой, что касательный вектор к в точке есовпадает с X. Отображение и наз. Э. о. алгебры gв группу G. Существует такая открытая окрестность N₀ точки 0 в gи такая открытая окрестность N _е точки ев G, что ехр является аналитич. диффеоморфизмом окрестности N₀ на N_e. Пусть Х ₁, ... , Х _п - нек-рый базис алгебры g. Отображение есть система координат на N_e, эти координаты наз. каноническими.
К понятию Э. о. для группы Ли G можно подойти и с другой точки зрения. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех аффинных связностей на G, инвариантных относительно группы левых сдвигов, и множеством билинейных функций Оказывается, что Э. о. ехр алгебры gв группу G совпадают с отображением Ехр касательного пространства gк многообразию . в точке ев это многообразие относительно лсвоинвариантной аффинной связности, отвечающей любой кососимметричной билинейной функции

Лит.:[1] Xелгасoн С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.
А. С. Феденко.