ЧЕРКАССЫ  ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНЫЙ ПОРТАЛ ГОРОДА И ОБЛАСТИ   ГЛАВНАЯ         ВХОД          РЕГИСТРАЦИЯ        КАРТА САЙТА   
Энциклопедии и справочники

Физическая энциклопедия
ПРИБЛИЖЕНИЕ

ПРИБЛИЖЕНИЕ

- приближённый метод решения дифференц. ур-ний, содержащих случайные параметры; основан на малости отношения времени корреляции воздействий 3009-41.jpgко времени корреляции отклика 3009-42.jpgФормально соответствует пределу 3009-43.jpg Непосредственно применим лишь к причинным задачам, в к-рых значения динамич. переменных в нек-рый момент времени функционально не зависят от последующих по времени значений случайных параметров. В физ. задачах M. п. п. является гл. членом разложения по малому параметру 3009-44.jpg и, в отличие от методов теории возмущений, допускает описание сильных флуктуации, возникающих в физ. системе под влиянием случайных воздействий.

Пусть поведение динамической системы описывается обыкновенными дифференц. ур-ниями:

3009-45.jpg

Здесь 3009-46.jpg- детерминиров. ф-ции своих аргументов, а 3009-47.jpg- случайная ф-ция (n+1)

переменной, обладающая след, свойствами ((...) означает статистич. усреднение,3009-48.jpg


3009-49.jpg


В ур-нии (1) случайна как сама ф-ция 3009-50.jpgпри детерминиров. аргументах, так и ф-ции 3009-51.jpgвходящие в аргумент 3009-52.jpg. Условия (2) - (4) накладываются на случайные f-ции 3009-53.jpgпри детерминиров. аргументах.

Если реальную корреляц. ф-цию (3) заменить ф-цией вида 3009-54.jpg

и считать, что входящие в (1) гауссовы случайные ф-ции характеризуются корреляц. ф-цией 3009-55.jpg то это соответствует замене истинного времени корреляции 3009-56.jpg нулём и эквивалентно переходу к M. п. п. При этом в (1) возникают два стремящихся к нулю временных масштаба: один - при вычислении производной 3009-57.jpg

3009-58.jpg другой - при стремлении к нулю 3009-59.jpg Ниже предельный переход 3009-60.jpg совершают после выполнения перехода 3009-61.jpg т. е. предполагают, что 3009-62.jpgФ-ции 3009-63.jpgнаходят из условия

3009-64.jpg

При сделанных предположениях плотность вероятностей

3009-65.jpg

решения системы (1) удовлетворяет Эйнштейна - Фоккера- Планка уравнению

где 3009-66.jpg

по повторяющимся индексам производится суммирование. Совместная плотность вероятностей для величин 3009-67.jpg при 3009-68.jpg в этом случае

распадается на произведение

3009-69.jpg

а ф-ция 3009-70.jpg (переходная вероятность) удовлетворяет по переменным х, t ур-нию (5) с нач. условием 3009-71.jpg T. о., случайный процесс 3009-72.jpg является марковским.

В реальных физ. задачах время корреляции флуктуации всегда конечно и вопрос о пригодности M. п. п. сводится к учёту конечности малого параметра 3009-73.jpg Одно из условий применимости M. п. п. всегда имеет вид 3009-74.jpg но обычно возникают и др. условия.

M. п. п. применимо и к причинным задачам, описываемым ур-ниями с частными производными, однако здесь уже нет такой универсальной формулировки, как для обыкновенных дифференц. ур-ний.

Задачи, описываемые дифференц. ур-ниями с двухточечными граничными условиями (напр., в задаче о распространении волны одно из граничных условий ставится в точке возбуждения волны, а второе описывает её отражение от нагрузки в конце), непосредственно нельзя описывать M. п. п. Однако в ряде случаев такие задачи можно свести к вспомогат. задачам Коши (методом инвариантного погружения или др. способами), после чего к ним применимо M. п. п.

Лит.: Кляцкин В. И., Татарский В. И., Приближение диффузионного случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах физики, "УФН", 1973, т. НО, с. 499; Введение в статистическую радиофизику, ч. I - Pытов С. M., Случайные процессы, ч. 2 - Pытов С. M., Кравцов Ю. А., Татарский В. И., Случайные поля, M., 1976-78; Кляцкин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах, M., 1980.

В. И. Татарский.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.



Наверх

Ротатор баннеров 468x60

Баннеров в ротаторе: 0   Смотреть все   Добавить баннер
 

 
Добавить баннер

Добавить баннер       Партнерка для Вашего сайта



Ротатор баннеров 88x31

Баннеров в ротаторе: 0   Смотреть все   Добавить баннер