Физическая энциклопедия ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
- системыполиномов , п =0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале ( а, b): где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в разл. задачах матем. физики:в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задачна собственные значения в теории волн, квантовой механике и др. где А п - нормировочнаяпостоянная,- момент весовой ф-ции .Из соотношений ортогональности (1) можно получить мн. свойства О. п. Напр.:полином р п (х )ортогонален произвольному полиному меньшейстепени; для произвольных О. п. справедлива рекуррентная ф-ла, связывающаятри последоват. полинома pn-1(x), р n(x), р п+1 (х), где - постоянные. Классические О. п. - полиномы Якоби, <Лaгeppa и Эрмита, часто встречающиеся в теоретич. и матем. физике. Классич. <О. п. удовлетворяют ур-ниям вида где - полином степени не выше 2,- полином степени не выше 1,- постоянная. Ур-ние (2) можно записать в самосопряжённом виде где ф-ция удовлетворяет ур-нию При значениях n= 0,1,2,..., ур-ние (2) имеет полиномиальные решения у = у п (х), к-рые можно представить в виде ф-лы Родрига где В п - нормировочнаяпостоянная. Т. к. производные от решений ур-ния (2)также удовлетворяют ур-нию того же вида, то получаем ф-лу Родрига для производныхот полиномов у n (х): При помощи линейной замены независимойпеременной, не меняющей вида ур-ния (2), полиномы у п, (х), ф-ции и можнопривести к след. канонич. видам. Частными случаями полиномов Якоби являются: а) полиномы Лежандра б) полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода в) полиномы Гегенбауэра (ультрасферич. <полиномы) Здесь Через полиномы Якоби можно выразить такжесферические гармоники и обобщённые сферич. ф-ции ( Вигнера функции). 2)Полиномы Лагерра: 3) Полиномы Эрмита: Ф-лы дифференцирования для полиномов Якоби, <Лагерра и Эрмита: Если полином имеет кратные корни, т. е.= ( х - а)2, то соответствующие полиномы у п (х )можновыразить через полиномы Лагерра: (С п - нормировочнаяпостоянная). Полиномы у n(x), для к-рых ф-ция удовлетворяет условию ( а, b - вещественные числа; k=0, 1, ...), ортогональны с весом наинтервале ( а, b), т. е. Отсюда следует, что полиномы Якоби ортогональны с весом на интервале ( - 1, 1) при - с весом на интервале (0, )при Н п (х) - свесом ехр ( - х2 )на интервале ( -,). Системы классич. О. п. замкнуты для непрерывныхф-ций f(x), удовлетворяющих условию квадратичной интегрируемости, <т. е. из равенств
и = 0,1,..., и имеют вид т. е. совпадают с классич. О. п. Если а и b конечны, то требование квадратичной интегрируемости можно опустить. Табл. 1. Здесь Г ( х) - гамма-функция. Производящие ф-ции для полиномов Якоби, <Лагерра и Эрмита: Асимптотич. представления при Классические О. п. дискретной переменной. <Заменим (2) разностным ур-нием второго порядка точности по h насетке х = x(s) с переменным шагом х= x(s + h) - x(s). После замены s на hs получим где Для сеток ( а, b, с, С 1, С 2, С 3 - постоянные), к-рые линейными преобразованиями x(s)c1x(s)+ c2, ss+ с можно привести к канонич. видам (- постоянная), выполняется простое свойство, аналогичное осн. свойствуур-ния (2): в результате разностного дифференцирования (6) получается ур-ниетого же типа. где В п- постоянная,ф-ция - решение ур-ния при Нек-рые из этих решении имеют самостоят. <значение и используются в квантовой механике, теории представлений групп, <вычислит. математике, теории вероятностей. k= 0,l,... полиномиальные решения и ур-ния(6) при ортогональны в смысле суммы: х i = х(si). Решения (7), для к-рых справедливо свойство(8) (причём на отрезке [ а, b -1] ф-ция не меняет знак, ф-ция x(s) - монотонна), наз. классич. О. п. дискретнойпеременной на неравномерных сетках. Табл. 2. Через классич. О. п. дискретной переменнойна линейной и квадратичной сетке выражаются матричные элементы представленийгруппы трёхмерных вращений, коэф. Клебша - Гордана и коэф. Рака. Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшиетрансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1, 1973; Суетин П. К.,Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; Никифоров А. Ф.,Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984;Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б., Классические ортогональныеполиномы дискретной переменной, М., 1985. А. Ф. Никифоров. Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988. Оригинал статьи 'ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ' на сайте Словари и Энциклопедии на Академике Турнавигатор |