Физическая энциклопедия ПЕРЕВАЛА МЕТОД
ПЕРЕВАЛА МЕТОД
- способ оценкиинтегралов, подынтегральные ф-ции к-рых имеют резкий максимум. Обычно П. <м. применяют для оценки интегралов вида где - большой параметр,- контур в комплексной плоскости z, ф-ции f(z) и q(z )аналитичныв области, содержащей П. м. позволяет получить асимптотическое разложение интеграла Суть П. м. заключается в том, что для подынтегральной ф-ции с резким максимумомосн. вклад в интеграл даёт малая окрестность точки максимума z0.Преобразуя путь интегрирования и производя замену переменных, добиваютсятого, чтобы наиб. давала окрестность z0 как можно меньшегоразмера, а подынтегральная ф-ция имела наиб. простой вид. Получающиесяэталонные интегралы часто удаётся вычислить. Простейший вариант П. м. былиспользован П. Лапласом (P. Laplace) в 1820, затем он был развит в работахБ. Римана (В. Riemann) в 1863 и П. Дебая (P. Debye) в 1909. 1. Если q'(z )имеет в точке z0 нуль порядка m, а f(z) регулярна вблизи z0,то Эталонныйинтеграл выражается через гамма-функцию (см. Эйлера интегралы). 2. Если q'(z )имеет два близкорасположенных простых нуля z1,2, то а0- постоянная. Эталонный интеграл выражается через Эйри функцию. Если конечна, то надо учитывать вклады каждого нуля отдельно (случай 1). 3. Три равноотстоящих нуля, расположенныхблизко друг к другу. Подстановка = а 0- ( а+ s2)2,эталонный интеграл выражается через параболического цилиндра функцию. 4. Если вблизи z0 имеетсяполюс ф-ции f(z), то интеграл разбивается на две части, одна изк-рых соответствует случаю 1, а вторая выражается через интеграл вероятностиили Френеля интеграл (см. Интегральные функции). 5. Если f(z) имеет точку ветвления1-го порядка вблизи простой седловой точки, то интеграл выражается черезф-цию параболич. цилиндра. 6. Седловая точка находится вблизи концевойточки контура интегрирования, но не совпадает с ней. Эталонный интегралвыражается через интеграл Френеля. Напр., если ф-ция f(z) неимеет особенностей вблизи изолиров. седловой точки 1-го порядка z0,т. е. точки, в к-рой q'(z0) =0, q"(z0)0,то асимптотич. значение таково: аналогично получают асимптотич. разложениеинтеграла по степеням имеющего простую стационарную точку x0= {xi0,..., xn0}, и для ф-ции f(x),регулярной вблизи x0, асимптотич. оценка имеет вид Возможность перехода к эталонному интегралув случае многомерной перевальной точки определяется леммой Морса, в соответствиис к-рой в окрестности невырожденной перевальной точки существует такаясистема локальных координат z1, ..., zn,что f(z) = f(0) + z21+ .... + z2n. В тех случаях, когда при заменепеременных возникают особенности, структуру эталонных интегралов определяютметодами теории дифференцируемых отображений (см. Катастроф теория). Лит.: Джеффрис Г., Свирлс Б., Методыматематической физики, пер. с англ., в. 3, М., 1970, гл. 17; Федорюк М. <В., Метод перевала, М., 1977; Фелсен Л., Маркувиц Н., Излучение и рассеяниеволн, пер. с англ., т. 1, М., 1978, гл. 4; Олвер Ф., Введение в асимптотическиеметоды и специальные функции, пер. с англ., М., 1978. В. Е. Рокотян. Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988. Оригинал статьи 'ПЕРЕВАЛА МЕТОД' на сайте Словари и Энциклопедии на Академике Турнавигатор |