ЧЕРКАССЫ  ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНЫЙ ПОРТАЛ ГОРОДА И ОБЛАСТИ   ГЛАВНАЯ         ВХОД          РЕГИСТРАЦИЯ        КАРТА САЙТА   
Энциклопедии и справочники

Физическая энциклопедия
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ

РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ - поверхность, локально устроеннаякак область комплексной плоскости 8011-19.jpg (комплексное аналитич. многообразие). Если X - нек-рая поверхность(многообразие), представимая в виде объединения открытых подмножеств {Ui}, каждоеиз к-рых эквивалентно нек-рой области 8011-20.jpgв 8011-21.jpg, тоговорят, что на X задана структура Р. п. Др. словами, существуют ф-ции fi,непрерывно и взаимно однозначно отображающие 8011-22.jpgна Ui, причём для любой пары индексов i и j ф-ции перехода 8011-23.jpgявляются аналитическими функциями, взаимно однозначно отображающими 8011-24.jpgна 8011-25.jpg. Пара 8011-26.jpgназ. картой, а совокупность всех карт, покрывающих X, - атласом. <Ниже приведены примеры Р. п.

1. Всякая область 8011-27.jpgв 8011-28.jpg являетсяР. п. При этом атлас можно выбрать состоящим из одной карты, положив 8011-29.jpgи /, равной тождеств. отображению.

2. Расширенная комплексная плоскость (сфера Р и м а н а)8011-30.jpg,получающаяся добавлением к 8011-31.jpgбесконечно удалённой точки, является Р. п. В этом случае атлас можно выбратьсостоящим из двух карт, положив, напр.,
8011-32.jpg

Ф-ция f1 отображает круг 8011-33.jpgна себя, а ф-ция f2 отображает внешность единичного кругана единичный круг. При этом бесконечно удалённая точка переходит в нуль.

3. Р. п. аналитич. ф-ции. Если ф-ция f(z), первоначально заданнаяв нек-рой окрестности точки z0, допускает аналитическое продолжение вдольк.-л. замкнутого контура, причём в результате этого продолжения получаетсяф-ция с др. значениями в окрестности z0, то точку z0 до обхода этого контура и ту же точку после его обхода естественно считатьразл. точками. Проводя эту процедуру со всеми точками первонач. областиопределения ф-ции, получаем в результате неоднолистную область, имеющуюструктуру Р. п. и называемую Р. п. ф-ции f(z). При обходе вдольконтура описанного выше типа говорят о переходе Р. п. на другой лист. Р. <п. аналитич. ф-ций позволяет рассматривать многозначные функции в 8011-34.jpgкак однозначные ф-ции на своих Р. п.

4. Пусть 8011-35.jpg- нек-рая область в 8011-36.jpgи Г - нек-рая группа взаимно однозначных аналитич. отображений 8011-37.jpgв себя, причём совокупность точек, получающихся из 8011-38.jpgпри действии Г, образует дискретное множество в 8011-39.jpg.Отождествляя точки 8011-40.jpg,переходящие друг в друга при преобразованиях из Г, можно определить поверхность(многообразие), к-рая имеет структуру Р. п. и обозначается 8011-41.jpg.Напр., преобразования 8011-42.jpg, где z0 - фиксиров. число, приводят к поверхности, топологическиэквивалентной цилиндру.

Согласно теореме об униформизации, любая связная Р. п. эквивалентналибо 8011-43.jpg,либо 8011-44.jpg,либо 8011-45.jpg, где 8011-46.jpg- верхняя полуплоскость. Др. словами, существует аналитич. ф-ция, взаимнооднозначно отображающая связную Р. п. на одну из перечисленных.

Р. п. применяют в разл. областях теоретич. и матем. физики. В частности, <в квантовой теории поля часто изучаемые величины (амплитуды рассеяния, <формфакторы и т. д.) являются многозначными аналитич. ф-циями. При этомпереход с одного листа Р. п. на другой обычно интерпретируют как переходот реальных состояний частиц к виртуальным и наоборот. Др. примерами могутслужить плоскость Лобачевского и фазовые пространства динамических систем.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.



Наверх

Ротатор баннеров 468x60

Баннеров в ротаторе: 0   Смотреть все   Добавить баннер
 

 
Добавить баннер

Добавить баннер       Партнерка для Вашего сайта



Ротатор баннеров 88x31

Баннеров в ротаторе: 0   Смотреть все   Добавить баннер