-формальная характерис-тика динамич. системы в существенно нелинейных моделях (см. Нелинейная квантовая теория поля, Нелинейные системы), применяемых для описания протяжённых локализованных структур (частиц, монополей, вихрей, солитонов, инстантонов, скирмионов и др.) в теории элементарных частиц, конденсированных сред, магнетиков и т. д. Эволюцию динамических систем в таких моделях можно представить как непрерывную деформацию (на матем. языке - го-мотопию) ф-ции состояния системы в данный момент времени в ф-цию состояния в любой последующий момент. Состояния, деформируемые друг в друга непрерывным образом, наз. эквивалентными (гомотопными) и на этом основании всё множество состояний - конфигурационное пространство системы - разбивается на классы эквивалентности (гомотопич. классы), отличающиеся значением T. з. Q. В таком подходе последоват. состояния системы с конечной энергией описываются полями (непрерывными ф-циями) из одного и того же гомотопич. класса, с одним и тем же значением T. з. Q_i. Переход от состояния из одного класса к состоянию из другого возможен лишь через состояние с бесконечной энергией. Иными словами, поля из разных гомотопич. классов разделены бесконечно высоким потенц. барьером. Естеств. образом возникает и закон сохранения T. з., к-рый, в отличие от нётеровских законов сохранения (см. Нётер теорема), не связан с симметриями динамич. системы и выполняется не в силу ур-ний движения, а лишь вследствие топологич. свойства ф-ций состояния - их непрерывности. Отсюда и название сохраняющейся характеристики - T. з. В клас-сич. динамич. системах с конечным числом степеней свободы для T. з. используется, как правило, термин "топологические интегралы движения", а в квантовом случае - "топологические квантовые числа".

В частности, топологич. интегралом движения является число частиц N в классич. динамике, где исключены процессы рождения и уничтожения частиц. Действительно, если конфигурац. пространство N частиц обозначить через C_N, то для конфигурац. пространства произвольного числа частиц справедливо представление

Это означает, что каждая связная i -тая компонента в указанном разбиении для С характеризуется собств. числом частиц N_i и в классич. динамике отсутствуют непрерывные траектории, связывающие компоненты конфигурац. пространства с различными N_i . Наличие подобного разбиения является необходимым критерием для введения нетривиальных T. з. T. о., закон сохранения числа частиц в классич. динамике есть следствие непрерывности траекторий частиц, и динамич. система с числом частиц N_i, принадлежащая в нач. момент времени компоненте C_Ni , во все последующие моменты будет находиться в той же компоненте. Аналогичное утверждение верно и для квантово-механич. систем, получающихся при первичном квантовании классич. системы.

Помимо разнообразных физ. интерпретаций T. з., такого рода топологич. классификация ф-ций состояния позволяет из чисто формальных соображений существенно сузить круг поиска решений ур-ний модели. С др. стороны, при наличии оценки энергии модели снизу через T. з. Q типа где f -монотонно растущая ф-ция, решения с нетривиальным значением Q ( топологические соли-тоны), реализующие оказываются устойчивыми по Ляпунову (см. Устойчивость солитонов). Более того, если ниж. грань функционала достигается (случай выполнения равенства в оценке, приведённой выше), то удаётся понизить порядок вариационных ур-ний (см. Эйлера-Ла гранжа уравнение )на единицу, т. е. свести поиск экстремалей функционала к решению ур-ний 1-го порядка, т. н. ур-ний Богомольного.

В физику T. з. введены T. Скирмом [1 ] в рамках синус-Гордона модели (см. Синус-Гордона уравнение). Трактовать T. з. на языке теории гомотопий предложили Д. Финкель-штейн и Ч. Мизнер [2]. Концепция T. з. основывается на наблюдении, что в каждый фиксированный момент времени t полевые ф-ции синус-Гордона модели можно воспринимать как отображения где -пространственная ось, а $¹ -сфера единичного радиуса (окружность) в пространстве полевых переменных, выделяемая условием . Последнее учитывается, напр., переходом к угловой переменной: , а наличие т о п о л о г и ч е с к о г о с ох р а н я ю щ е г о с я т о к а J^m, m=0, 1, с компонентами вытекает из ур-ния непрерывности. Действительно, закон сохранения топологич. тока д_mJ^m=0 выполняется не в силу ур-ний движения модели (уравнения синус-Гордона) и не как следствие симметрии лагранжиана, а лишь на основании непрерывности угловой переменной a (x, t). Соответственно интегральная сохраняющаяся характеристика - T. з. принимает лишь целочисленные значения по числу полных обходов ("намоток") поля a(x,t) по многообразию сферы $¹ при пробегании аргумента x вдоль всей пространственной оси . Наложением граничных условий, при (где j₀ -нек-рое фиксированное значение), пространственная ось эффективно компактифицируется, т. е. , что позволяет рассматривать T. з. Q как степень отображения (т. н. степень Брауэра) "пространственной" сферы $¹ в "полевую" сферу: (см. Топология).

При обобщении T. з. на более реалистичные пространства высоких размерностей выделяются, как правило, две разл. реализации: модели скалярных полей с тривиальной асимптотикой и модели хиггсовского типа (скалярные плюс калибровочные поля) с нетривиальным асимптотич. поведением на бесконечности.

В моделях первого типа скалярные поля со значениями на нек-ром компактном многообразииF (напр., на сфере $^n-1, в компактной группе G или в однородном пространстве G/H )удобно рассматривать как отображения j(x): Так, в случае Ф=$^n-1 рассматривают n -компонентное поле, подчинённое дополнит. условию:

Дифференцируя ур-ние "полевой" сферы (2), получают систему однородных ур-ний ,.., d , из к-рой в случае n<=d следует, что rank <n, т. е. любой минор я-ro порядка матрицы [ дj] равен нулю. Последнее утверждение переписывается в форме закона сохранения

для n -компонентной плотности сохраняющегося топологического тока J^m [выражение в скобках в (3), домноженное на подходящий нормировочный коэф.; e^a,b,g,... - Леви-Чи виты символ]. Соответственно нормированный на целое число T. з. для n = d

где -площадь поверхности сферы $^n-1 , Г(n/2)-гамма-функция. Как и в случае одного измерения, естественные граничные условия при (тривиальное асимптотич. поведение) приводят к эфф. компактификации пространства: Тогда поля j(x) суть отображения (в общем случае классифицируются (d -1) - й гомотопич. группой p_d-1 (Ф) элементами к-рой являются гомотопические классы полей {j(x)}_i. Возможность введения целочисленной топологич. характеристики - T. з. Q для заданной динамич. системы - определяется наличием изомор-. физма где -абелева группа целых чисел или одна из её подгрупп. Фактически T. з. (4) является явной реализацией изоморфизма для Ф=$^n-1. Факт независимости сохранения T. з. от динамики системы подтверждается тем, что J⁰ в ф-ле (4) не зависит от канонич. импульсов: скобки Пуассона J⁰ с канонич. координатами [полями j(x)] тривиальны по определению.

Наиб. изученный пример синус-Гордона модели отвечает случаю n = d=2в ф-лах (2) - (4). В терминах полей j(x) плотность топологич. тока записывается в виде

а выражение для Т. з. Q даётся ф-лой (1), т. е. для полей с граничными условиями типа

T. з. Q=N Из оценки для энергии синус-Гордона модели

где следует неравенство

означающее, что ниж. грань функционала реализуется на решениях ур-ний 1-го порядка

Интегрирование ур-ний (6) приводит к единств. классу стационарных решений синус-Гордона ур-ния

называемых к и н к о м и а н т и к и н к о м соответственно. Граничные значения в (5) соответствуют тривиальному асимптотич. поведению, т. к. принадлежат -множеству минимумов потенциала модели V=1-cosa. Состояния системы классифицируются по 1-й (фундаментальной) гомото-пич. группе

Ситуация с n = d= 4 и T. з. типа реализуется в киральной модели бариона - Скирма модели. Выражение для плотности топологич. тока выписывается в соответствии с ф-лами (2) и (3):

а Т. з. Q удобно представить в угловых переменных ( q, b, g ) на сфере $³,полагая

Учёт характерной для низкоэнергетич. физики адронов киральной симметрии приводит к полевому многообразию т. о. в качестве осн. средства описания удобно использовать гл. киральные поля параметризованные мезонными полями: g(j)=j₀+i(tj); Здесь t-Паули матрицы,t, j - векторы в изотопич. пространстве (см. Изотопическая инвариантность). Поля g(j), подчинённые граничному условию где I- единичная 2 х 2-матрица, осуществляют отображение g:. и соответственно классифицируются по группе В оценке энергии модели снизу через T. з. (7) где e и l- параметры модели, не допускается равенство, т. к. в данном случае ур-ния Богомольного не совместны с ур-ниями Эйлера - Лагранжа. Интерпретация T. з. (7) как барионного числа адронов, предложенная Скирмом, подтверждается выкладками в рамках КХД [3], основанными на эффекте "поляризации дираковского моря кварков" во внеш. киральном поле g(x )(см. Квантовая хромодинамика и развёрнутое изложение в [4]).

Ещё одна разновидность T. з., возникающих в моделях скалярных полей с п =3, d=4, связана с др. топологич. инвариантом-индексом Хопфа и используется в моделях магнетиков [5] и модели Фаддеева [6 ] с полевым многообразием Ф=$². Выбирается триплет скалярных полей n^a(t, x):, a= 1, 2, 3, подчинённых условию | n | = 1. Индекс Хопфа определяется как число зацеплений векторных линий В -поля, к-рое можно связать с n -полем следующим образом:

b, с=1, 2, 3. Наложением граничных условий при пространство $³ компактифицируется в $³ и при таких отображениях прообразами двух отличных точек на "полевой" сфере $² будут две разные B -линии на "пространственной" сфере $³, зацепляющиеся какое-то число раз. Это число и есть индекс Хопфа, обозначаемый Q _Н. Рецепт вычисления Q _Н основывается на том, что в силу (8) divB=0, т. е. В- линии замкнуты, и если натянуть на одну из них ориентированную поверхность, то вторая линия должна пересечь эту поверхность ровно Q_H раз. Это приводит к следующему аналитич. выражению для T. з. типа индекса Хопфа:

где введён сохраняющийся топологич. ток

и соответственно n -поля классифицируются элементами 3-й гомотопич. группы Оценка для энергии модели через Q_H имеет вид где случай равенства исключается ввиду недостижимости ниж. грани функционала энергии.

Магнитные T. з. возникают в моделях хиггсовского типа (см. Хиггса поля), имеющих разнообразные приложения в физике элементарных частиц, конденсированных сред, в астрофизике, теории сверхпроводимости и т. д. При этом d=n+1 и для получения конфигураций с конечными дина-мич. характеристиками (энергией, импульсом и т. п.) и нетривиальными T. з. наряду со скалярными полями для d>= 3 требуется вводить в рассмотрение калибровочные поля и предполагать нетривиальное асимптотич. поведение полей на пространственной бесконечности [7], [8].

Простейшая абелева модель Хиггса при d=3, n =2включает скалярные поля j(t, x, y)=(j₁, j₂), взаимодействующие посредством U (1) - калиоровочного поля, A_a, а = х, у. Магнитный T. з. q записывается как

где -тензор напряжённости калибровочного поля, характерный для электромагнетизма. Таким образом, F_xy, можно воспринимать как магн. поле, а второй интеграл в (9) - как суммарный магн. поток через плоскость ( х, у). Условие целочисленности равносильно заданию правила квантования магн. потока и выполняется при стремлении быстрее, чем |r|^-2 на пространственной бесконечности. В отличие от T. з. Q в чисто скалярных полевых теориях, магнитный T. з. определяется как степень отображения не в полевое многообразие Ф, а в множество нулей потенциала V(j):M₀={j:V(j)=0}- т. н. хиггсовский вакуум модели, при стремлении в любом направлении. Поскольку возможные пространственные направления в d -мерном пространстве-времени задаются единичным вектором , в общем случае имеем Для потенциала V(j)=(l/2)(j²-j²₀)2 (j₀- нек-рое фиксир. значение) хиггсовский вакуум M₀=$¹ ,т. <е. . Оценка энергии модели через магнитный T. з. q:содержит равенство, и конфигурации с мин. энергией отвечают т. <н. N -вихревым (q = N> 0) и N- антивихревым (q = N <0)решениям ур-ний Богомольного. Такие решения, описывающие, в частности, экспериментально наблюдаемые вихри Абрикосова (см. Решётка вихрей Абрикосова )в рамках абелевой модели Хиггса обнаружены X. Нильсеном (H. Nielsen) и П. Олесеном (P. Olesen) в 1973. Аналогичную топологич. природу имеют условия квантования Дирака для заряда магнитного монополя[8]: где е- заряд частицы в поле монополя Дирака.

В неабелевой модели Хиггса SO(3)- или SU(2)-калиб-ровочные поля A_m, m=0,1, 2. 3, взаимодействуют с триплетом скалярных полей (изовекторное поле Хиггса) j=(j₁, j₂, j₃) ; лагранжиан имеет вид:

где -тензор напряжённости калибровочного поля A^a_m -ковариантная производная и Хиггсовский вакуум в данном случае определяется как V(j)=0 , т. <е. является 2-сферой радиуса f₀ в изотопич. пространстве. Поскольку поля не инвариантны относительно преобразований из G= SO(3) и в то же время инвариантны относительно подгруппы вращений вокруг выделенного направления в изопростран-стве. M₀=G/H Магнитный T. з. монополя q находится по теореме Гаусса - Остроградского вычислением потока магн. поля через замкнутую поверхность S, лежащую в хиггсовском вакууме и окружающую точку возможной локализации монополя:

где dS_k- ориентированный элемент поверхности сферы S и

есть число обходов полем j(x) вакуумного многообразия . M₀ при пробегании х по всей поверхности S. При этом заряд монополя q=-4pN/e и состояния системы классифицируются гомотопич. группой

В отличие от сингулярных монополей Дирака модель (10) обладает регулярными решениями с конечной энергией и нетривиальным магн. зарядом q: монополи т' Хоофта-- Полякова, монополи Богомольного - Прасада - Соммерфилда (БПС-монополи), а также дионными решениями Джулиа - Зи с нетривиальными электрич. и магн. зарядами [8]. Энергия модели оценивается через T. з. q,и ниж. грань достигается на БПС-монополях. Магн. монополи с нетривиальными T. з. возникают и в моделях Великого объединения сильных, слабых и эл.-магн. взаимодействий.

Нетривиальные топологич. характеристики присущи конфигурациям евклидовых Янга-Миллса полей= - матрицы Паули, удовлетворяющим ур-нию самодуальности (11) и обладающим конечным действием

Здесь -дуальный тензор напряжённости полей Янга - Миллса в евклидовом пространстве; Г - область интегрирования. Условие конечности действия (12) влечёт при , т. е. вдоль всей границы д Г 4-мерной области Г, Как следствие, рассматрива-емые конфигурации должны быть локализованы в пространстве и во времени и по этой причине получили назв. инстантоны. С др. стороны, на границе д Гполе A_m дzолжно быть чистой калибровкой ( х), Г , где g(x)- непрерывное отображение в калибровочную группу G, т. е. g:Согласно теореме Ботта, для любой простой группы Ли G отображение g(x) можно непрерывным образом деформировать в g: Последнее замечание позволяет, во-первых, отождествить A_m(x) на д Г с киральным током L_m (см. Скирма модель), а во-вторых, вычислить T. з. инстантонов n (т. н. числа Понтрягина) по ф-лам для T. з. модели Скирма:

В терминах тензора F_mv ф-ла (13) приобретает вид

Евклидово действие S оценивается снизу через T. з. п: S>=8p²|n|, и равенство достигается на решениях ур-ния самодуальности (11). Согласно существующим представлениям, ин-стантоны, особый вид колебаний вакуума, реализуются как туннельные переходы между разл. вакуумами чисто калибровочных Янга - Миллса теорий и по этой причине играют существ. роль в определении основного вакуумного состояния в теориях такого рода. Классификация инстантонных полевых конфигураций даётся группой

Наряду с целочисленными топологич. характеристиками, в ряде совр. полевых моделей вводятся T. з. с дробными значениями [9 ].

Лит.: 1)Skyrmе T. H. R., A nonlinear theory of strong interactions, "Proc.Roy.Soc.", 1958, v. А247, p. 260; его же, A nonlinear field theory, "Proc.Roy.Soc.", 1961, v. А260, p. 127; его же, A unified field theory of mesons and baryons, "Nucl. Phys.", 1962, v. 31, p. 556; 2) Finkelstein D., Misner C., Some new conservation laws, "Ann. of Phys.", 1959, v. 6, p. 230; 3) Balachandran A. P. [a.o.], Exotic levels from topology on the quantum-chromodynamics effective lagran-gians, "Phys.Rev.Lett", 1982, v. 49, p. 1124; 4) Makhankov V. G., Rybakov Y. P., Sanyuk V. I., The Skyrme model. Fundamentals methods, applications, B. - L., 1993; 5) Косевич A. M., Иванов Б. А., Ковалев А. С., Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны, К., 1983; 6) Рыбаков Ю. П., О солитонах с индексом Хопфа, в сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, в. 12, M., 1981; Структура частиц в нелинейной теории поля, M., 1985; 7) Додд P. и др., Солитоны и нелинейные волновые уравнения, пер. с англ., M., 1988; 8) Goddard P., Olive D. I., Magnetic mono-poles in gauge field theories, "Repls. Progr. Phys.", 1978, v. 41, p. 1357; Goddard P., Mansfield P., Topological structures in field-theories, "Repts Progr.Phys.", 1986, v. 49, p. 725; 9) Goldstone J.., Wil-czek F., Fractional quantum numbers on solitons, "Phys.Rev.Lett", 1981, v. 47, p. 986. В. И. Санюк.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.